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L’arithmétique modulaire est une branche des mathématiques qui travaille avec des restes de divisions. Elle est très utilisée en informatique, en cryptographie et dans différents domaines techniques.
Le concept est simple : deux nombres sont équivalents si leur différence est divisible par un nombre donné. Ce nombre est appelé "modulo".
Qu’est-ce que l’arithmétique modulaire ?
L’arithmétique modulaire est un système de calcul basé sur le "reste" d’une division. Elle s’intéresse uniquement à ce qui reste après avoir divisé un nombre par un autre.
Par exemple, 17 ÷ 5 donne un reste de 2. On dit alors que 17 est équivalent à 2, modulo 5. On écrit : 17 ≡ 2 (mod 5).
Dans ce système, les nombres "tournent en boucle" comme une horloge. Après avoir atteint le maximum (le modulo), on revient à zéro.
Ce mode de calcul simplifie certaines opérations et est très utile en programmation et en sécurité informatique.
À quoi sert l’arithmétique modulaire ?
Elle est utilisée dans de nombreux domaines techniques.
En cryptographie, elle sert à chiffrer les données. Plusieurs algorithmes, comme RSA, reposent sur des opérations modulaires pour créer des clés sécurisées.
En informatique, on l’utilise pour gérer des indices de tableaux circulaires, déterminer des cycles ou concevoir des fonctions de hachage.
C’est aussi une composante essentielle des algorithmes de vérification, comme les sommes de contrôle (checksums) ou les codes-barres.
Dans la gestion du temps, c’est l’arithmétique utilisée pour représenter les heures, les jours ou les mois dans des boucles de 24h, 7 jours ou 12 mois.
Comment fonctionne l’arithmétique modulaire ?
Elle repose sur un principe : deux nombres sont égaux si leur différence est un multiple du modulo.
On calcule d’abord le reste de la division entière d’un nombre par ce modulo. C’est ce reste qui devient la valeur modulaire du nombre.
Par exemple : 20 ÷ 6 donne un reste de 2. On dit que 20 ≡ 2 (mod 6). De même, 8 ≡ 2 (mod 6), car tous deux laissent un reste de 2 quand on les divise par 6.
L’arithmétique modulaire permet alors de travailler avec des "équivalences", ce qui réduit les calculs tout en conservant leur sens logique.
Différences avec des notions proches
L’addition, la soustraction et la multiplication classiques ne prennent pas en compte le modulo. Elles donnent des résultats absolus.
L’arithmétique modulaire, elle, s’arrête au reste de la division par le modulo. Par exemple, 9 + 5 donne 14, mais modulo 12, cela devient 2.
Il ne faut pas confondre non plus le reste d’une division simple avec le concept de "modulo" utilisé dans les langages de programmation.
La plupart des langages, comme Python ou Java, utilisent l’opérateur % pour calculer ce reste.
Exemples ou cas d’usage concrets
Un cas courant est celui des horloges. Si vous ajoutez 5 heures à 22h, cela donne 3h : 22 + 5 = 27, et 27 ≡ 3 (mod 24).
En cryptographie, les algorithmes à clé publique utilisent des grands nombres premiers et des calculs modulaires pour sécuriser les transmissions.
Une entreprise peut aussi s’en servir pour vérifier l’intégrité d’un fichier lors d’un transfert. Elle compare un code de contrôle obtenu avec une opération modulaire.
D’un point de vue technique, l’arithmétique modulaire est souvent utilisée dans les circuits électroniques pour générer des signaux périodiques.
Dans une base de données, on peut utiliser les résidus modulaires pour répartir des données entre différents serveurs de façon équilibrée.